ご質問有難うございます。早速ですが、
結論から言うと、「仏滅」はあまり人気がありません。そのかわりに引越し料金が、安くなるというメリットはあります。
ただ、ご質問内容を拝見させて頂いただけですが、その引越し業者さんに“強引さ”を感じてしまいました。そこが『騙された気持ち…』に繋がっているのではないでしょうか？
確かに、引越しのシーズン時期はどの会社も忙しく、トラックの空きがない状況になってしまいますが、今の（1月中旬）段階から、その時期の予定がほとんどうまってるというのも、疑問に思います。（その営業所が新築マンションなどの一斉入居の予定を抱えているなどの理由があれば別です。）
私が引越し会社に在籍していたころは、1月下旬～2月の上旬くらいにならないと、本社から下りてくるシーズン料金が決まら無かった為、見積もりすら御断りしていました。
ぺーちゃん さん が改めて話をしても、納得出来ないような引越し業者であれば、いくら紹介があったからといっても、引越しを任せるべきではありません。
最低２社は相見積もりを☆にも書いていますが、相見積もりをされたほうがよろしいのではないでしょうか？それで、信頼出来る会社に依頼するべきです。
「仏滅」の引越しがダメだと言うことはありません。あくまでも気持ちの問題です。しかし、お客様がそれを望まないのであれば、当然引越しの日はそれ以外の日に設定すべきだと思います。
引越しの契約は３日以上前のキャンセルであればキャンセル料などはかかりませんので、その業者と契約されたとしてもキャンセルして他の引越し業者の話を聞かれることをお勧めします。当サイトでご用意している一括見積もりサービスは、入力条件に対応可能な複数の引越し業者に一括で見積もり依頼が出来るようになっています。無料ですから是非ご利用ください。
ぺーちゃん さん がお望みの回答が出来たかどうかわかりませんが、よいお引越しになるように願っております。