mizono さん ご質問ありがとうございます。
ご質問のタイトル、「引越しの段ボールの料金を請求するのは違法では？」と、ご質問内容にある、「段ボールの ”送料” をキャンセル時に請求されました。」の両方にお答えしたいと思います。。
まず、「引越しの段ボールの料金を請求するのは違法では？」ですが、これは使用された分を請求されたのか、未使用の置いていかれたままの状態の全ての段ボール料金を請求されたのかにもよります。
使用されたのであれば、その分の料金は支払わなくてはなりませんが、未使用のままであれば、その料金を請求するのはおかしいと思います。
引越し業者の規模にもよりますが、本社が別にあるような業者なら、一度本社にお電話をされてみてはいかがでしょうか？それでも埒があかなければ、消費者センターへお電話してみてください。
次に「段ボールの ”送料” をキャンセル時に請求されました。」ですが、mizono さんのご都合でキャンセルをされた場合、ダンボールの送料をご負担されること自体はおかしいとは言えません。何も言わずにと言われていますが、キャンセルされたという自覚があるようであれば、逆に言えば契約をされた認識もおありだということだと思います。
引越し業者は、契約をしてもらったユーザーにほとんどのケースでダンボールをお渡しします。知らない間に玄関において帰らない限り、ユーザーもそれを認識してると思いますので、もし今回のようにmizono さん がお感じになったということであれば、多少強引な営業行為があって、納得されていないままに契約させられて、その気持ちのままで他社さんの見積もりをとられて、そちらと契約しなおされたということなのでしょうか？
なので、送料がどちら負担かどうかは非常に微妙なケースですが、争点は強引な営業活動があったかどうか？ とうことになると思います。同様のご質問を以前に頂いておりますので、そちらの回答内容も合わせてご覧ください。
【Q&A】キャンセル時の出来事
いずれにしても、キャンセル関連のトラブルが後を絶たないのは、引越し業界に限ったことではないかも知れませんが、気分がよくないものですよね。